Salut,
Pas très compliqué je pense, en utilisant l'objet Date du javascript et plus précisément la fonction getDay() qui retourne le numéro du jour (0 pour dimanche, 1 pour lundi... 6 pour samedi).
Il faut faire une boucle en parcourant les dates en partant de la date de début jusqu'à la date de fin et tester s'il s'agit d'un samedi ou d'un dimanche.
Pour optimiser le traitement, dès que tu trouves un samedi tu peux faire un saut de 7 jours et regarder si cette nouvelle date est inférieure à ta date de fin.